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但是在一英里和一英尺两个抽象概念之间，如果没有双方的直观表象，没有数的帮助，那就简直没有准确的，符合于双方不同的量的区别。在这两个概念中，人们根本只想到空间上的量；如果要在两者间加以充分的区别，要么就是借助于空间的直观，也就是离开了抽象认识的领域；要么就是在数中来想这个区别。所以，人们如果要从空间关系获得抽象认识，空间关系就得先转为时间关系，即是先转为数。因此，只有算术，而不是几何，才是普遍的量的学说。几何如果要有传达的可能性，准确的规定性和应用于实际的可能性，就得先翻译成算术。固然，一种空间关系也可以就是空间关系而被抽象地思维，例如下弦随角度的增大而增大；但是要指出这种关系的量，就必须用数来表示。在人们对空间关系要求一个抽象认识（即是知而不是单纯的直观）的时候，把三进向的空间翻译为一进向的时间，就有必要了。使得数学这么困难的，也就是这个必要性。这是很好理解的，我们只要把一条曲线的直观和这曲线的解析的算式比较一下，或者是把三角上应用的对数表和这表所示三角形各个部分间变更着的关系比较一下；这里在直观中只要一瞥就可完全而最准确地理解，譬如余弦如何随正弦之增而减，譬如此一角的余弦即彼一角的正弦，譬如该两角互为此增彼减，此减彼增的相反关系等等。可是为了把这些直观认识到的东西，抽象地表达出来，那就需要庞大的数字网，需要艰难的计算。人们可以说，一进向的时间为了复制三进向的空间，如何得不自苦啊！但是为了应用的需要，要把空间关系沉淀为抽象概念，这一切就都是必要的了。空间关系不能直接转入抽象概念，而只能通过纯时间上的量，通过数的媒介，因为只有数直接契合于抽象的认识。还有值得注意的是空间以其三进向而适宜于直观，即令是复杂的关系也可一览无余，这又是抽象认识做不到的。与此相反，时间虽容易进入抽象概念，但是能够给予直观的却很少。在数的特有因素中，在单纯的时间中，不牵入空间，我们对数的直观几乎到不了十；十以上我们就只能有抽97象的概念，不再是数的直观认识了。在另一方面，我们却能用数字和所有的代数符号把准确规定的抽象概念连结起来。

这里附带的还要指出有些人们的心灵，只在直观认识到的＇事物中＇　才有完全的满足。把存在在空间上的根据和后果形象地表达出来，那就是这些人所寻求的。欧几里得的证明，或是空间问题的算术解答都不能吸引他们。另外一些人们的心灵却又要求在应用和传达上唯一可用的抽象概念。他们对于抽象定理，公式，冗长的推论系列中的证明，对于计算，都很有耐性，很有记忆力，而计算所使用的符号则代表着最复杂的抽象＇事物＇。一种人寻求准确性，一种人寻求形象性。这个区别是＇人的＇特性不同的表示。

知或抽象认识的最大价值在于它有传达的可能性和固定起来被保存的可能性。因此，它在实际上才是如此不可估计的重要。任何人固然能够在单纯的悟性中，当下直观地认识到自然物体变化和运动的因果关系，可因此而十分得意；但是为了传达于别人，那就要先把直观认识固定为概念才能合用。如果一个人只是独自进行一种活动，尤其是在这活动的实施中直观认识还鲜明的时候，在实践上直观认识本来也就够用了；可是如果他需要别人的帮助，或者虽是自己本人来干，却要间歇一个时候才能进行，因而需要一个计划的时候，那就不够用了。譬如一个精于台球的人，对于弹性物体相撞击的规律，他拥有纯悟性上的完整知识；这虽仅是对于当前的直观认识，但是对于他的球艺已是绰有余裕了。与此不同的是，唯有一个有学问的力学家才能对于这些规律真正有所知，也就是说只有他才有抽象的认识。甚至于象制造一部机器，如果这位发明人是独自工作的，单纯直观的悟性认识也足够