第六百四十八章 舒伯特（Schubert）计数 (第1/2页)

calabi-Yau也在数学中引发了一系列重大的进展，如超弦学家candelas等人通过研究不同的calabi-Yau流形给出的相同的超对称共形场论所发现的镜对称猜想。这个猜想由丘成桐、连文豪与我以及Givental独立证明，它解决了代数几何中遗留了上百年的舒伯特（Schubert）计数问题。

大概在格林恩与普列瑟的论文发表一年后，镜对称的下一步发展攫取了数学社群的注目。

坎德拉斯、德拉欧萨（xenia de la ossa）、保罗·葛林（paul Green，马里兰大学）、帕克斯（Linda parks）四人证明了，镜对称可以帮忙解决一个代数几何学与“枚举几何学”（enumerative geometry）中的难题，这是超过数十年未解的问题。

坎德拉斯团队所研究的是五次三维形的问题，这个问题也称为舒伯特问题，舒伯特（hermann Schubert）是19世纪的德国数学家，他解决了这个难题的第一部分。

所谓舒伯特问题是计数在五次卡拉比—丘流形上“有理曲线”（rational curve）的数目，其中有理曲线是像球面一样，亏格为零或没有洞的曲线（实二维曲面）。

计数这些东西听起来像是种古怪的消遣，但如果你是个枚举几何学家，那么这就是你每天的主要工作。

不过这个工作丝毫不简单，绝不像把罐子中的太妃糖倒到桌上数一数而已。

如何计数流形上的物件；如何为问题找到正确架构，使得计数所得到的值有用，百余年来一直是数学家的挑战。

举例来说，如果想让最后计数出来的数值是有限而不是无限的话，我们能计数的对象就必须是紧致空间，而不能像是平面那样的空间。

又例如要计数的是曲线的交点数，这时相切（轻触彼此）的情形就会造成麻烦。

枚举几何学家发展了许多技术来处理这些情况，希望最终的结果是离散的数。

这类问题最早的例子出现于公元前200年左右，希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of perga）曾经提问说：“给定三个圆，有多少圆可以同时和这三个圆相切？”这个问题的一般答案是八，并且可以用直尺与圆规来解答。

但是要解决舒伯特问题，则需要更精密的计算技巧。

数学家处理这个难题的方式是逐步处理，每一步只处理一个固定的“次数”（degree）。

这里所谓次数，指的是描述曲线的多项式中各项的最高次数。

例如4x2-5y3是三次多项式，6x3y2+4x是五次（x和y的次数要加起来），2x+3y-4是一次。如果令2x+3y-4等于零（2x+3y-4=0），就可以定义一条线。

因此这个问题是先取出五次三维形，指定有理曲线的次数，然后问说有多少这样的曲线。

舒伯特解出了次数是一的情况，他证明五次三维形有2875条线。

大概一个世纪之后的1986年，现在任职于伊利诺斯大学的卡兹（Sheldon Katz）解出二次的情况，二次有理曲线数等于。

坎德拉斯、德拉欧萨、葛林、帕克斯解决的是三次的情形。不过他们的解法运用了镜对称的想法，因为想要直接在五次卡拉比—丘流形上解这个问题极端困难，但格林恩与普列瑟所构造的镜伴流形，提供了容易得多的解题框架。

事实上，在格林恩与普列瑟关于镜对称的原来论文中，就已经指出这个基本的思路。他们说明汤川耦合这个物理量，可以用两种差异很大的数学公式来表示，一种来自原来的流形，另一种