第一百三十一章 泰勒公式（微积分） (第1/2页)

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（brook taylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市出生。

1701年，泰勒进剑桥大学的圣约翰学院学习。

1709年后移居伦敦，获得法学学士学位。

1712年当选为英国皇家学会会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。

从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。

1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。

泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理着称于世。

泰勒在无聊的玩GeoGebra，里面有个公式:

Y=A0+A1x+A2x^2+A3x^3+A4x^4+A5x^5+A6x^6+A7x^7+A8x^8+A9x^9

然后无聊的拨弄着滑动条来随意改变这些个A值。屏幕上函数图像不断变化着，但那线条总是歪七八扭，不听使唤。他认真了起来，扩大了A值的范围和精度，逐渐找到规律之后，他已经能够调出剑尖，牙齿，猫耳等图像。

他不断增加项数，调整参数，他发现增加的项数越多，他就越能掌控图像的变化。

他像扭铁丝似的上下弯折着曲线，无意中调出了一段波浪形的图像，看着似乎挺眼熟……

——这不是 sin 函数吗！

他抑制不住自己的兴奋，赶紧输入了标准的 sin 函数进行对比，同时继续调整多项式，使这个山寨函数尽可能地贴近正品。

他仔细端详着，单看眼前这一段，简直可以以假乱真，不过越到后面，分歧也就越明显了。

他猛然意识到：“我能够控制多项式画出任意图像！甚至把它伪装成其他函数！“

但是他很快冷静了下来，问了自己一连串的问题：所谓的任意，可以是无限制的任意吗？我能否完美地“伪装“出一个目标函数？如果不能，那又能够伪装到何种程度？摆在眼前的具体问题就是，能否“伪装“出一个完美的 sin 函数？

他决定一探究竟。如果存在某 n 次多项式等于 sin(x);则其导函数也等于 sin(x)的导函数；它的二阶导也等于 sin(x)的二阶导；它的三阶导也等于 sin(x)的三阶导；

……它的 n 阶导也等于 sin(x)的 n 阶导。

可是，每求导一次，多项式就会降一阶。

求到 n 阶导不就变成常数了吗？

再导不就归零了吗！

而 sin(x)可以无穷阶求导，所以无论 n 有多大，都不可能完美伪装出 sin 函数。

除非…… n 为无穷大？

这就引出了下面的问题：这样的伪装可以到达何种程度？

首先，经过调整，可以使二者的起点一致；然后，可以调整使二者在该点处斜率一致；再然后，可以调整该点处的二阶导数一致；再然后，可以调整该点处的三阶导数一致；

……总之，我们总可以使该点处 n 阶导数一致。

而 n 可以无限递增下去，我们的“伪装“就可以无限逼近目标函数。

——埃勒里·泰勒·奎因看着图像的变化，他不禁把那个起点当成了运动的质点，斜率即质点的速度

……他忍不住做起了一个思想实验：没有其他外力，没有初速度的条件下，质点只能静止在原地，毫无自由可言。

给质点一个初速度，我们可以使质点单向匀速运动；若再给定一个加速