第六百四十八章 舒伯特（Schubert）计数 (第2/2页)

来自镜流形。一个公式牵涉流形中不同次数的有理曲线数，根据格林恩的说法，计算起来绝对是很“恐怖”的事情；另一个公式则牵涉流形的形状，相较起来要简单得多。然而因为这一对镜流形描述的是相同的物理性质，因此结果必须相等。这就像“狗”和“犬”两字看起来不同，描述的却是同一种覆毛的动物。格林恩与普列瑟的论文中有一个方程式，明确说明这两组看起来长相各异的公式其实是相等的。格林恩说：“你可以有一个抽象上已知正确的公式，但是想把方程式计算到适当的精确度以得出数值，却是很大的挑战。我们有方程式，却没有从它提炼出数值的工具。而坎德拉斯和他的合作者发明出这项工具，这是很大的成就，对几何学也有很大的影响。”

19世纪几何学的重要结果之一是凯利（Arthur cayley）与赛尔曼（George Salmon）的研究，它们证明在所谓的“三次曲面”上共有27条直线。舒伯特后来推广了这个凯利—赛尔曼定理。（

这个想法阐明了镜对称的潜力。我们或许不需要再去烦恼卡拉比—丘空间中曲线数量的计数，因为另外有一种和计数这种苦差事比起来很不一样的计算方式，也可以获得相同的答案。坎德拉斯团队运用这个想法，计算了五次三维形中三次有理曲线的数目，结果答案是。

计数这些有理曲线的目的，并不仅止于该数值，而是放眼于整个流形的结构。因为在计数的同时，基本上我们是以成熟的数学技巧在移动这些曲线，直到过程涵盖整个空间。在这样的过程中，我们其实是利用这些曲线来定义这个空间，不管它是五次三维形或其他空间都适用。

计数曲面上的直线或曲线数，是代数几何学与枚举几何学中的常见问题。想知道曲面上的直线的样子，可看看图中这个双直纹双曲面，它是由一系列的直线所完全构成的，而它之所以称为双直纹，是因为曲面上每一点都有两条直线通过。不过对于枚举几何学来说，这样的曲面并不是好例子，因为上面的直线数是无穷多。

这些结果的整体效果，让一个垂死的几何学分支乍然苏醒。根据美国加州大学圣地亚哥分校的数学家马克·格罗斯（mark Gross）的看法，坎德拉斯团队领先运用镜对称的想法，解决了这个枚举几何学的难题，导致整个领域获得重生。“当时这个领域基本上已经死了，”格罗斯说，“当旧问题解决之后，人们有时回头用数学的新技术来计算舒伯特数，但是这些方法并无新意。”然后完全出乎意料的，“坎德拉斯带来了新方法，是远远超出舒伯特所能想象的方法。”物理学家曾经迫切地从数学借用许多材料，然而当数学家倒过来要跟物理借用资源时，他们却要求先看到坎德拉斯方法严格性的更多证明。