第三百七十三章 里奇的流形（流形） (第1/2页)

1884年，里奇-库尔巴斯托罗（Ricci-curbastro）开始了关于绝对微积分（absolute differential calculus）的工作。

1900年，列维-齐维塔（Levi-civita）和里奇-库尔巴斯托罗（Ricci-curbastro）出版了《绝对微积分方法及其应用》（méthodes de calcul differential absolu et leures applications），其中他们建立了张量理论，15年后在广义相对论中用到。

列维-齐维塔对里奇说：“想要确认是不是拓扑学等价，也需要经过拓扑等价变化得来的。”

里奇说：“等价变换的过程，就意味着这个东西需要做一个改变了，尤其是曲率会有改变。”

列维说：“听起来好复杂啊，能够完成吗？”

里奇说：“会的，复杂但不意味着做不到，一个有曲率的流形，可以用埃尔米特度量来表示，曲率的变换，仅仅是那些上三角矩阵中数字的变换而已。”

列维说：“我们可以尝试的去掌握这种变换。”

里奇想拿热学做类比，但是实际不成熟，脑中想了想之后，还是压下去低调的说：“没错，到时候等价拓扑流形变换，就是埃尔米特流形度量矩阵里数字的变化而已。那个时候，我们可以使用这个工具去构造。”里奇突然在想，很多热力学中的复杂变化跟这个里奇流变化也有关系，而且埃尔米特度量矩阵中的数字，有了一种类似于玻尔兹曼公式中的热学信息的秩序感，那么热学中的无序变化，就是热学中埃尔米特度量的数字信息的变化，从这个数字上可以反映出有序到无序的不可逆性，就类似了棋盘和摆牌这种模型了。

列维说：“然后用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形。这个可以应用在力学中，力学可以让材料发生变形。力学几何解释就是，内在的曲率变化就是封闭流形的度规变化的原因。把局部内在转动归结为封闭流形位形几何演化的内在原因。”

里奇觉得力学的比喻是十分恰当的，而且还找到了变化的单元，借助这个局部转动的概念，就可以像垒积木一样的搭建一个流形大厦了。

同时他认为可以从两个角度来解释：“对连续介质力学而言，对dg\/dt 可以作出应变的对应解释。而在几何上，对于曲率变化，可以做出局部内在转动的解释。”

列维说：“所以，把局部内在转动归结为封闭流形位形几何演化的内在原因。如果这个内在转动不为零，则封闭流形会演化下去，只到达成一个平衡位形。”

一般而言，外部的物理作用由一个泛函f引入，从而，完整的、在外场作用下的Ricci方程为：

dg\/dt=-2Ricci(g)-2ddf(R)。

这样，对特定的外场，就有一个特定的平衡位形。

与连续介质力学不同，应力的概念被一个依赖于曲率的泛函局部二阶微分特性给定了。

这多少与格林应力是等价的。

而在连续介质力学中，一个长期以来的难题是如何定义物质微元的几何属性。

这个物质微元是封闭的3-流形。

从而，Ricci流方程把微元闭流形的变化与连续介质的宏观位形变化连续了起来。

而在经典的连续介质力学中，微元物质是被隐涵的假定为三个1-流形的直和。

那是最为简单的情况，这是特例。此时，各向同性假定是必须引入的。

但是，各向异性就象一个幽灵，紧随大变形而来，如接受，就与前提矛盾；如不接受，