第五百九十七章 扎里斯基拓扑（概型） (第2/3页)

你的代数几何的拓扑问题后，想到让方程的拓扑学体现出来，就可以从代数簇中直接进行。代数簇的思想，不就是所有的方程本来都是多项式，而多项式仅仅有加法和乘法。就相当于是代数簇在做很多加和乘的运算来组成各种曲线，那么就是环的作用而形成曲线。代数几何的问题也就是交换环的理想的问题。”

莱夫谢茨说：“那你要是研究方程的拓扑性质，就从环这个结构开始就行了。”

扎里斯基知道这些方程不需要在坐标系里定位，所以用了仿射空间，或者叫线性空间，只需要表示他们的形状就行。

仿射空间，又称线性流形，是数学中的几何结构。这种结构是一种特殊的线性空间，是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

然后扎里斯基的工作就是把这些方程变成拓扑结构了。

在一九二七至一九三七年间，扎里斯基给出了关于曲线c 的经典的黎曼-罗赫定理的拓扑证明，在这个证明中他引进了曲线 c 的 n重对称积 c(n)来研究 c 上度数为 n 的除子的线性系统。

在三十年代，扎里斯基把克鲁尔的广义赋值论应用到代数几何，特别是双有理变换上，他是从这方面来奠定代数几何的基础，并且作出了实质性的贡献。

扎里斯基和其他的数学家在这方面的工作，大大扩展了代数几何的领域：首先，由复数域到一般域；其次，由代数曲线、曲面推广到一般代数簇，定义是完全内蕴的，也就是抛掉装着代数簇的外围空间。

他还证明了下述扎里斯基主要定理：“如果双有理对应在正规定 p 外不是正则的，那么 p 的像的各个分支的维数大于等于一。”由此阐明了双有理对应的性质。

对于奇点解消问题，即射影空间中任意不可约代数簇都能够双有理地变换为射影空间内的不带奇点的代数簇，在特征为零及维数小于等于三时，他给出了证明。

一九四四年，他又证明了特征为〇的域上三维代数簇的奇点可以解消。

域 k 上的不可约代数簇 V，如果它的函数域上 k 上是纯绍越的，就称为一个有理簇。

扎里斯基给出了判别代数闭域上的完备光滑曲面 S 是有理的一个充分必要准则。

这个重要准则，现在称为卡斯泰尔诺沃-扎里斯基判别准则。

关于代数曲面，扎里斯基还严格地证明了卡斯泰尔诺沃的定理：设 L 为代数闭域 k 上两变量有理函数域 k(x，y)的子域且包含 k，如果 k(x， y)在 L 上为可分代数的，那么 L 是 k 上的二元有理函数域。

在代数曲面的理论中，寻求与给定的代数曲面双有理等价的非奇异代数曲面的问题，是这个领域中最基本的问题之一，扎里斯基在特征为〇的域上给出了基于赋值论的纯代数的证明。

关于代数曲面的分类，扎里斯基和其他数学家给出了完整的结果。

他还引进正规簇和正规化的概念，并应用于线性系、双有理变换及代数对应等理论中。

关于诺德环，他得出：若半局部整环 R 是一个域上的有限生成环的商环，则 R 是解析非分歧的，若 R 还是正规局部环，则 R 是解析正规的。

他还指出，即使以更一般的理想的幂引入拓扑，一切理想仍是闭集。

在关于局部一致性的研究中，扎里斯基导入了代数簇 V 上的拓扑，现在称为扎里斯基拓扑。在这个拓扑中 V 的闭子集就是 V 的代数子簇。

在一九四九至一九五一年间，他发展了在簇 V 上的全形态方程以及在簇 V 的