第五百三十六章 格罗滕迪克概形（代数几何） (第3/3页)

格的“一般点(generic point)”、“基变换(change of bases)”、以及“幂零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，并且可以用精细的抽象代数的方法来研究几何对象的各种抽象的“几何性质”，这样就为解决一大批重要的经典数学问题开辟了道路。

同样在概形上，我们可以做所有的在经典代数簇上曾经做过的事情，例如可以定义广义的“纤维丛”(即模层)、“除子”和“微分”，可以有层的上同调理论(包括Serre对偶定理等)，可以建立严格的代数簇分类理论和黎曼-罗赫定理，以及建立严格的相交理论(包括周环和陈类)等。

在概形上也能够做以前根本无法做到的事情，例如可以构造模空间的严格理论，尤其是可以建立能够应用于数论的“算术代数几何”理论等。

后来的历史发展证明，当经典代数几何的逻辑基础问题被彻底解决后，代数几何便立即取得了巨大进展，并因此促进了20世纪后半叶现代数学的大发展。

下面列举一些现代数学中因代数几何的进步而获得的重大成果，它们分别是：德利涅(deligne)证明了数论中韦依猜想、广中平佑解决任意维数代数簇的奇点解消问题、芒福德(mumford)建立了一般模空间的理论、法尔廷斯(Faltings)证明了数论中的莫德尔(mordell)猜想、森重文完成了3维代数簇分类、怀尔斯(wiles)证明了数论中着名的费马大定理以及吴宝珠证明了朗兰兹(Langlands)纲领中的基本引理等。

不仅如此，伴随着这些重大问题的解决过程，同时又出现了一大批全新的数学研究领域，其中尤其令人想不到的是概形理论对于数学物理研究的巨大推动作用，而在量子场论中出现的许多新思想（例如弦理论、镜像对称和量子上同调等）反过来又促进了对于代数簇的拓扑和计数几何的研究。

人们常说格罗滕迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点”。

数学家巴斯(bass)就曾评价：格罗滕迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。我们不妨可以简单地将代数几何看成是“用多项式研究几何、用几何的想法研究多项式”的学科。特别是从代数几何中体现出来的代数与几何相互作用的方式，具有普遍的意义，目前这种思想方法已经渗透到了几乎所有的现代数学各主要分支学科中。