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进行研究的——在性质上跟数学家们自己较近的工作颇为类似。因此，康托尔作为基础用以建立集合论的那种一一对应关系我们从远古年代的物物交换（用一个物体换取另一个物体）中就已经知道了，一一对应关系的形成在儿童甚至在较高级的脊椎动物身上都是可以详细考察到的。布尔巴基的三个“矩阵结构”，其初级的但又是清晰的形式可以在儿童的具体运演阶段上观察到（《研究报告》第十四卷）。麦克雷恩和爱伦堡的“范畴”概念从“组成性功能”的水平（见本书第一章第Ⅲ节）上起就可以在儿童身上应用：这种应用无疑地是在琐碎的意义上讲的，但它表明了范畴的基本结构（有其蕴含的功能和有限组合的一类客体的基本结构；见《研究报告》第十三卷）的普遍性。

数学的认识论有三个传统的主要问题：数学虽然是奠基于极少数内容相当贫乏的概念或公理之上，为什么却这样富有成效呢；尽管数学具有建构特性，这可能成为不合理性产生的根源，但为什么数学仍然具有必然性从而保持着恒常的严格性呢；尽管数学具有完全是演绎的性质，为什么数学跟经验或物理现实是符合一致的呢？

A。在解决了对逻辑作同语反复的解释之后，我们将把数学的富有成效性视为是当然的。无论如何，数学上的同语反复概念纯粹是一种字面上的假设。它之得到公认还是没有能解释清楚下述这件事情到底是怎么回事，即经过了二十五个世纪之久，为什么仍然有可能以无穷无尽的料想不到的方式来论述同样一些东西呢。这是一个历史评论的问题，同样也是一个心理发生学的问题：在数学研究的过程中相继产生的一些新形式既不是什么新发现，因为它们是跟以前未曾给出的现实有关，也不是什么创造，因为一种创造暗示着某种程度的自由，而每个新数学关系或新结构从它构成的瞬间起就都具有必然性；正是这个“必然的建构”引起了关于它的组成机制问题。而发生学的研究能对这个引起争论的问题作出有意思的贡献，因为发生学的研究显示出，在数学家关于组成机制所讲到的东西跟儿童发展早期阶段所表现出的东西之间具有某种会合一致关系；因此发生学的研究对这些建构的心理根源，甚至生物根源，提出了可能的假说。

数学家一般把这些创新归因于存在着在运演的基础上引入无限数量的运演的可能性。在建构E和F两个集（这已经就是通过运演将客体组合起来）时，我们能把E中的一个x“运用到”F中的一个（而且仅仅是一个）y，从这里就出现了一种函数运演，它可以是一一对应的（在单一的x对应于y的情况下），也可以不是这样（在有好几个x对应于y的情况下）。E×F这个积，我们可以从E、F这两个集形成；我们也可以通过等值关系的分割来形成它们的商集（例如，把“同胞”关系应用于“人类”这个集，就产生了“民族”这个集）。用同样的方式，我们可以用组合办法从每一个集导出其“所有子集的集”，或者通过重复这些运演以得到建基于E和F之上的集的阶梯式体系。特别是，不管基础集的性质如何，我们都能够通过把对这些集进行运演所得到的共同特性抽象出来，而建构结构，于是就可以借助于理论来把这些结构作相互比较，如果存在着同构性（比如在欧几里得几何和实数理论之间）那么这些结构就是单值的，而在别的情况下（群和拓朴学）结构则是多值的①。所以全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的。标志着近代数学巨大进展的这种观点的改变，其最显著的迹象是那个与数学“实体”这个术语开始有了联系的新意义。数学实体已不是从我们内部或外部一劳永逸地给出的理想客体了：数学实体不再具有本体论的意义；当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类“实体”进行的运演，反过来，又成为理论研究的对