第六百五十八章 林格尔猜想（图论） (第1/2页)

树图是只有分支没有闭合的图，完全图是每个节点都两两相连的满图。

格哈德·林格尔（Gerhard Ringel）想用多个相同树图去填充完全图。如何让多个简单的小图副本完美地重构（覆盖）一张大图？

1963年，一位名叫格哈德·林格尔的德国数学家提出了一个大胆的猜想：一些特定的图形总是可以被n个小图副本完美覆盖。对此，他指出：任给一棵具有 n条边的树 t，都能在2n+1阶完全图K2n+1中找到不重合且同构于t的2n+1个子图（即2n+1个t副本可以被完美地填充到K2n+1中）

解释一下，就是首先，想象一个包含2n+1个点的完整图形。然后思考使用n+1个点可以制作多少棵树，事实上可以做出很多种完全不同的树。现在，选择其中一棵树并将其放置，以使树的每个边与完整图形中的边重合。然后，将同一棵树的另一个副本放在整个图形的不同部分上。林格尔预测，假设你从正确的地方开始放置并持续这个动作，那么你将能够完美地复制出上面的完整图形。这意味着完整图形中的每个边都被树的每条边覆盖，且树的任何副本都不会相互重叠。

为了证明林格尔的猜想，人们发展与利用了多种数学工具，比如：概率方法、正则引理等，但似乎总有漏洞。

科齐格则推测，平铺总是可以旋转的方式完成。

如果想探究他们的猜想，简单的星形树图是或许是一个不错的起点。

最简单的树图之一是星形：有一个中心点，其他边从中心辐射出来。但它不同于典型的星形图，因为边不必在点周围均匀排列，只需从同一位置向外延伸，除了在中央点之外，不能在其他任何地方相交。

确实，数学家很快观察到，具有n+1个点的星形树始终可以完美地复制到具有2n+1个点的完整图形。单单这个事实就很有趣，但是如何证明却让数学家们犯了难。

但是这个实验依然有漏洞：星形图是规则的，因此无论如何放置都无关紧要。但是大多数树并不是，假如树上有许多不同长度的不同分支，那么只有正确放置它们才能使旋转方法起作用，且此时如何放置第一步将至关重要。

幸运的是，数学家们最终找到了一个直观的色彩方法。

近日，苏黎世瑞士联邦技术学院的本尼·苏达科夫（benny Sudakov）、伯明翰大学的理查德·蒙哥马利（Richard montgomery）和伦敦伯克贝克大学的亚历克斯·波克洛夫斯基（Alexey pokrovskiy）三名数学家发表的相关论文或许给证明这个困惑了人们将近60年的数学猜想带来了希望。他们通过颜色编码找到树的彩虹副本

颜色编码在生活中有很多应用，比如它可以帮助区分日常工作的紧急程度、完成情况等。事实证明，这也是找出如何放置第一颗树的有效方法。

如何进行颜色编码呢？首先，想象围绕一个圆排列的11个点的完整图，编码规则是根据距离（通过一条边连接的两个点之间的距离）进行上色。

假设如果两个点彼此相邻，则它们之间的距离为1，如果两个点中间相隔一个点，则它们之间的距离为2。

现在根据距离为完整图的边上色。距离为1的所有点的边都涂成相同的颜色，例如蓝色。距离为2的点的所有边也都标记相同的颜色，例如黄色。继续这样操作，以使连接点的边距相等的距离都标记相同的颜色。

结果证明，在具有2n+1个点的完整图形上，你需要n种不同的颜色来执行该方案。

给完整图形按颜色编码后，如何找到放置第一颗树的方法呢？

这个想法是将树定位，使其覆盖每种颜色的一个边