第五百三十五章 范畴论和函子（范畴） (第1/2页)

1945年。

塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩在研究拓扑学里的同调论，引进了范畴论。在同态（具有几何直观）转化成同调论（公理化方法）的过程中起了重要作用。不同的“拓扑”问题可以转换至通常较易解答的“代数”问题之上。

在拓扑空间上如基本群或基本群胚等基本的架构，可以表示成由群胚所组成的范畴之间的基本函子，而这个概念在代数及其应用之中是很普遍的。

桑德斯·麦克兰恩说：“对象与对象之间不是孤立的，而是具有许许多多的“联系”的。但是“联系”是一种空泛的词语，它既可以表示对象与对象之间所有联系的集合，也可以表示对象与对象之间所有联系之中的某一条联系。为了使得描述的对象不那么空泛，我们用专有名词“态射”来指代对象与对象之间所有联系中的某一条联系。”

塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。”

乌拉姆说：“1930年，波兰也有过类似想法，主要是bourbaki总结了三种基本数学结构，范畴论将这三种数学结构归结为一种。对数学结构可以统一化描述。”

桑德斯·麦克兰恩说：“态射也可以看成一种对象，所以态射之间也会存在态射。而对象在某种程度上也可以看成一种态射，所以事实上，对象和态射其实是一种东西。这句话不理解没关系，已经超越了范畴论的内容。”

塞缪尔·艾伦伯格说：“一堆对象，以及对象之间的所有态射所构成的一种代数结构，便称之为“范畴”。范畴可以看作集合的更高级产物，因为集合和范畴都含有许多的对象，但集合不强调态射，范畴强调态射。范畴本身也可以看作一个对象，所以范畴与范畴之间也会存在态射，范畴和态射又可以构成新的范畴。”

阿诺德打断道：“那范畴与范畴之间有映射吗？”

塞缪尔·艾伦伯格说：“范畴与范畴之间的映射称之为“函子”。映射是一种特殊的态射，所以函子也是一种态射。我们可以利用范畴和函子构建一种新的范畴。”

阿诺德听完以后有些懵。

桑德斯·麦克兰恩说：“而函子本身也可以看成一种对象，所以函子之间也会存在态射。这种函子之间的态射我们称之为自然变换。”

柯尔莫哥洛夫实在是听不下去了，直接高喊：“先等一下，你们这是在闹什么？我觉得你们创造数学符号和数学名词的时候非常随便和混乱。在我学哲学史的时候有一个非常重要的思路，就是任何一种理论都是要解决一个特定的问题。如果没有这个问题，这一理论就毫无意义。因此在说明一种理论的第一件事，应当是说明这个理论要解决什么问题。你们这些人讲了许多定义，但是没有“问题”。”

塞缪尔·艾伦伯格说：“我这是个十分有用的东西，范畴论直观，更容易理解。是以公理集合论定义，所以都是集合论语言，很冗长。集中使用在代数拓扑，代数几何，代数几何子领域的非交换几何，代数数论。理论物理以来代数几何中非交换几何，所以也用范畴论表示。”

柯尔莫哥洛夫摇摇头说：“仅仅是一个哲学概念，不会很好的精确解决问题。”

阿诺德说：“这些都是抽象到一堆像云雾一样的了？还有其准确性？为什么听起来如此混乱？”

格罗滕迪克说：“如果拿纯粹的集合论表示，那才麻烦，用范畴论让这些变得简化了。”

格罗滕迪克说：“这不